Capacitores y Dieléctricos

Capitulo 4

Contenido: Conductores y dieléctricos, Condensadores y capacidad , Energía en condensadores y campos eléctricos, Ley de Gauss para materiales dieléctricos.

Un capacitor es un dispositivo que almacena energía potencial eléctrica y carga eléctrica. Un capacitor es un dispositivo que almacena energía potencial eléctrica y carga eléctrica. La energía almacenada en un capacitor con carga, guarda relación con el campo eléctrico en el espacio entre los conductores. La energía potencial eléctrica puede considerarse almacenada en el mismo campo.

Conductores

Ciertos materiales permiten que las cargas eléctricas se muevan con facilidad de una región del material a la otra, mientras que otros no lo hacen. El cable de cobre es un conductor de electricidad bastante utilizado. Los conductores permiten el movimiento fácil de las cargas a través de ellos.

Dieléctricos

Se denomina dieléctrico a un material con baja conductividad eléctrica. Reciben también el nombre de aislante. Materiales dieléctricos no permiten que las cargas eléctricas se muevan de una región del material a otra.

Capacitores y capacitancia

Dos conductores separados por un aislante (o vacío) constituyen un capacitor. Los dos conductores tienen cargas de igual magnitud y signo contrario, y la carga neta en el capacitor en su conjunto permanece igual a cero. Cuando se dice que un capacitor tiene carga Q, o que una carga Q está almacenada en el capacitor, significa que el conductor con el potencial más elevado tiene carga +Q y el conductor con el potencial más bajo tiene carga -Q (si se supone que Q es positiva). Una manera común de cargar un capacitor es conectar estos dos alambres a las terminales opuestas de una batería. El campo eléctrico en cualquier punto de la región entre los conductores es proporcional a la magnitud Q de carga en cada conductor. Por lo tanto, la diferencia de potencial Vab entre los conductores también es proporcional a Q. Se llama capacitancia C del capacitor a la razón entre la carga Q y la diferencia de potencial: La unidad del SI para la capacitancia es el faradio
La capacitancia es una medida de la aptitud (capacidad) de un capacitor para almacenar energía.

Cálculo de la capacitancia

$E=\frac{σ}{ε_{0}}$, donde σ es la magnitud (valor absoluto) de la densidad superficial de carga en cada placa. $σ$ es igual a la magnitud de la carga total Q en cada placa dividida entre el área A de la placa, $σ=\frac{Q}{A}$. El campo es uniforme y la distancia entre las placas es d, por lo que la diferencia de potencial (voltaje) entre las dos placas es: A partir de esto se observa que la capacitancia C de un capacitor de placas paralelas con vacío es Las unidades más convenientes de capacitancia son el microfaradio ($\mu F$), nanofaradio ($\eta F$) y el picofaradio ($\rho F$).

Capacitores en Serie y en Paralelo

• Capacitores en Serie Se conectan en serie dos capacitores (uno en seguida del otro) mediante alambres conductores entre los puntos a y b. Al principio ambos capacitores están inicialmente sin carga. Cuando se aplica una diferencia de potencial Vab positiva y constante entre los puntos a y b, los capacitores se cargan. En una conexión en serie, la magnitud de la carga en todas las placas es la misma.
  $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_{1}} + \frac{1}{C_{2}} + \frac{1}{C_{3}}+ ... + \frac{1}{C_{n}}$
• Capacitores en Serie En una conexión en paralelo, la diferencia de potencial para todos los capacitores individuales es la misma, y es igual a Vab. Sin embargo, las cargas Q1 y Q2 no son necesariamente iguales, puesto que pueden llegar cargas a cada capacitor de manera independiente desde la fuente.
  $C_{eq} = C_{1} + C_{2} + C{3} + ... + C_{n}$

Almacenamiento de energía en capacitores

La energía potencial eléctrica almacenada en un capacitor cargado es exactamente igual a la cantidad de trabajo requerido para cargarlo. Podemos determinar la energía potencial $U$ de un capacitor con carga mediante el cálculo del trabajo W que se requiere para cargarlo.
El trabajo total $W$ necesario para incrementar la carga $q$ del capacitor, de cero a un valor final $Q$, es:

Que también es igual al trabajo total realizado por el campo eléctrico sobre la carga cuando el capacitor se descarga. Si se define la energía potencial de un capacitor sin carga como igual a cero, entonces $W$ es igual a la energía potencial $U$ del capacitor con carga. La carga final almacenada es $Q = C \cdot V$, por lo que $U$ (que es igual a $W$) se expresa como:

Cuando $Q$ está en Coulombs, $C$ en Farads (Coulombs por Volt) y $V$ en Volts (Joules por Coulomb), $U$ queda expresada en Joules.

Energía del campo eléctrico

El total de energía almacenada $\frac{1}{2} C \cdot V^{2}$ y el volumen entre las placas es igual a $A \cdot d$, por lo tanto, la densidad de energía es:

Si $C=ϵ_{0} \frac{A}{d} $ y la diferencia de potencial $V$ está relacionada con la magnitud del campo eléctrico $E$ de acuerdo con $V= E \cdot d$, la relación de la densidad de energía eléctrica es: $u=\frac{1}{2} ϵ_{0} E^{2}$.
Aunque esta relación se obtuvo sólo para un capacitor de placas paralelas, es válida para cualquier capacitor con vacío y por ello para cualquier configuración de campo eléctrico en el vacío.

Cálculo de capacitancia con un dieléctrico

Cuando la carga es constante,

En este caso, la ecuación se puede expresar de la forma:

Tabla de valores para la constante k dieléctrica

Ley de Gauss en los dieléctricos

La carga total encerrada, incluida la carga de la placa del capacitor y la carga inducida en la superficie del dieléctrico, es $Q_{enc}=(σ - σ_{i} ) \cdot A$, por lo que la ley de Gauss da $\frac{EA=(σ-σ_{i} A)}{ϵ_{0}}$ donde σi es la densidad superficial de carga inducida.

Con la finalidad de eliminar $σ_{i}$ se usa: $σ_i= σ \cdot (1-\frac{1}{k})$ que, al combinarse con la ecuación anterior, se obtiene $E \cdot A=\frac{σ \cdot A}{(K \cdot ϵ_{0})}$ o $E \cdot A \cdot k=\frac{σ \cdot A}{(ϵ_{0})}$.
Se plantea que el flujo de $K \cdot E$ a través de una superficie gaussiana es igual a la carga libre encerrada $σA$ dividida entre $ϵ_{0}$.

Para cualquier superficie gaussiana, siempre que la carga inducida sea proporcional al campo eléctrico en el material, la ley de Gauss puede expresarse como:

donde $Q_{enc-libre}$ es la carga libre total (no la carga ligada) encerrada por la superficie gaussiana.