INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA

Capitulo 7

Contenido: Ley de Faraday. Ley de Lenz, Campos eléctricos inducidos, Generadores eléctricos y motores, Inductancias: propia y mutua, Cálculo de la inductancia, Energía en inductancias, Energía del campo magnético, transformador.

INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA

La inducción electromagnética es el proceso por el cual se puede inducir una corriente por medio de un cambio en el campo magnético. Hay dos leyes fundamentales que describen la inducción electromagnética:
  • Ley de Faraday
  • Ley de Lenz

Ley de Faraday

descubierta por el físico del siglo XIX Michael Faraday. Relaciona la razón de cambio de flujo magnético que pasa a través de una espira (o lazo) con la magnitud de la fuerza electromotriz $\mathcal{E}$ inducida en la espira. La relación es:

$\mathcal{E} = \frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}$
​ La fuerza electromotriz, o FEM, se refiere a la diferencia de potencial a través de la espira descargada (es decir, cuando la resistencia en el circuito es alta). En la práctica es a menudo suficiente pensar la FEM como un voltaje, pues tanto el voltaje y como la FEM se miden con la misma unidad, el volt. Establece que:
$\oint_C \vec{E}\vec{dl} = \frac{d}{dt} \int_{S} \vec{B} \cdot \vec{dA}$
donde: $\vec{E}$ es el campo eléctrico, $\vec{dl}$ es el elemento infinitesimal del contorno C, $\vec{B}$ es la densidad de campo magnético y $S$ es una superficie arbitraria, cuyo borde es C. Las direcciones del contorno $C$ y de $\vec{dA}$ y $\vec{dA}$ están dadas por la regla de la mano derecha.

El punto clave aquí es que un alambre que se mueve en un campo no necesariamente representa una fuente ideal de voltaje; el voltaje que podrías medir con un voltímetro de alta impedancia solo sería igual a la FEM si la carga es pequeña.

Ley de Lenz

La ley de Lenz es una consecuencia del principio de conservación de la energía aplicado a la inducción electromagnética. Fue formulada por Heinrich Lenz en 1833. Mientras que la ley de Faraday nos dice la magnitud de la FEM producida, la ley de Lenz nos dice en qué dirección fluye la corriente, y establece que la dirección siempre es tal que se opone al cambio de flujo que la produce. Esto significa que cada campo magnético generado por una corriente inducida va en la dirección opuesta al cambio en el campo original.
Típicamente incorporamos la ley de Lenz a la ley de Faraday con un signo menos, que nos permite utilizar el mismo sistema de coordenadas para el flujo y la FEM. A veces nos referimos al resultado como la ley de Faraday-Lenz:

$ \mathcal{E} = -\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}$
​ En la práctica, frecuentemente se lidia con la inducción magnética en espiras múltiples de alambre, donde cada una contribuye con la misma FEM. Por esta razón, incluimos un término adicional NNN para representar el número de vueltas, es decir:
$\mathcal{E} = -N \frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}$

Donde $\epsilon$ es el voltaje inducido, $\frac{d\phi}{dt}$ es la tasa de variación temporal del flujo magnético $\phi$ y $N$ el número de espiras del conductor. La dirección del voltaje inducido (el signo negativo en la fórmula) se debe a la oposición al cambio de flujo magnético.

Campo Eléctrico Inducido


(Con variación en la corriente i estamos automáticamente variando el campo B producido por A)

Los fenómenos eléctricos que se producen cerca de las cargas eléctricas están conectados por el hecho de que hay un campo eléctrico junto a la zona de carga. Por lo tanto, podemos decir que sólo habrá un campo eléctrico cuando una carga de prueba interactúe con la región de perturbación.


Una fuerza electromotriz inducida tanto puede proceder de la variación de un campo magnético en función del tiempo, así como la acción de un campo magnético uniforme en un hilo conductor rectilíneo. Es decir, se origina por el movimiento de un circuito. En ese caso, la variación del flujo del campo magnético induce un campo eléctrico E en cada punto del espacio.


Siempre que verificamos que una corriente eléctrica inducida se originó por consecuencia del movimiento de un circuito eléctrico, ese fenómeno es explicado por la fuerza magnética. Sin embargo, en algunos momentos tendremos dificultades en definir la corriente eléctrica inducida haciendo uso de la fuerza magnética. Entonces, para tal definición, tomaremos como base la Ley de Faraday.


En la figura de arriba tenemos dos espiras (conductores cerrados planos) en formato circular A y D. De acuerdo con la figura ilustrada podemos ver que ambas espiras están en paralelo. Ahí también podemos apreciar que la espira A está asociada a un generador (fuente) y a una resistencia eléctrica de valor R. Si acaso hubiera una variación en la corriente eléctrica del circuito veremos que el campo magnético B generado por la espira A sufrirá alteraciones en su flujo.


Siendo así, si el valor del campo B varía, variará también el valor del flujo magnético en la espira D, creándose una corriente inducida en la propia espira D. Tenemos que atender al hecho de que el campo magnético no genera fuerzas sobre cargas estáticas; pero, por otro lado, el campo eléctrico sí. Siendo así, podemos concluir que la variación del campo magnético B genera un campo eléctrico E; y ese campo actúa sobre los electrones libres de la espira D, creando, entonces, una corriente eléctrica inducida. Siendo así, de acuerdo a la Ley de Faraday, vemos que campos magnéticos variables generan campos eléctricos.


FORMULAS IMPORTANTES
$\oint E \cdot dL = \epsilon$

$\oint E \cdot dL = - \frac{d \phi_{B}}{dt}$

$F = q \cdot E$

Generadores y motores eléctricos


La producción de electricidad en la vida moderna está basada en su gran mayoría en la ley de inducción de Faraday. La conversión de energía mecánica a energía eléctrica en forma de corriente se realiza casi en su totalidad con el uso de generadores de corriente alterna, cuyo principio de funcionamiento describiremos a continuación.


Generador de corriente alterna.

Lazo de alambre rotando.


Generadores de corriente alterna


Imagine una espira de alambre conductor que forma un bucle de área A (figura 1). La espira está colocada entre los polos de un imán, es decir, en un campo magnético constante, $B$, y rota sobre un eje perpendicular a las lineas del campo a la velocidad angular $ω$. Los extremos del alambre que conforman la espira están conectados a dos anillos conductores de deslizamiento, denominados colectores, en contacto con sendas escobillas de rozamiento estacionarias, también conductoras. Las escobillas a su vez se conectan a un circuito externo formado por una lámpara incandescente. A medida que el bucle gira, el flujo magnético que lo afecta cambia, ya que cambia el área efectiva del bucle atravesada por el campo magnético, y con ello se induce una fem* ($\epsilon$). La fem inducida da lugar a una corriente eléctrica en el circuito externo que ilumina la lámpara.


*Desde que Alessandro Volta, inventor de la primera pila en 1800, introdujo el término fuerza electromotriz (fem), se ha convertido en tradición el uso de tal frase para referirse a la fuente de energía eléctrica que causa que las cargas se muevan en los circuitos eléctricos, y aunque la palabra fuerza está fuera de contexto, se sigue utilizando con frecuencia hoy en día.


Note que cuando el bucle de alambre está en posición horizontal como se muestra en la figura 1 no hay lineas de campo cruzando el área A del bucle, sin embargo, cuando gira $90º$ se coloca en posición vertical y todo el flujo magnético pasa por su interior. Evidentemente el área efectiva que enfrenta las lineas de campo va creciendo gradualmente entre ambas posiciones extremas.


Para determinar la expresión de cálculo de la fem inducida en la espira que rota, nos basaremos en la expresión de la fem inducida en un conductor en movimiento, $\epsilon = Blv$. En el esquema de la izquierda de la figura 2 se muestra el lazo de alambre rotando en la dirección de las manecillas del reloj en un campo magnético constante dirigido a la derecha. La fuerza magnética que afecta los portadores de carga ($F = qvB$) en los lados del bucle $ab$ y $cd$ no está dirigida paralela a el eje del alambre, si no perpendicular a este lo que implica que en estos lados no hay fuerza neta que tienda a hacer circular la corriente por el bucle, esto es, no se produce fem.


Una situación diferente se produce en los lados $bc$ y $ad$ en los que la fuerza magnética sobre los portadores de carga si tiene un valor neto en la dirección paralela a los alambres y por ello se induce una fem que es la que, a resumidas cuentas, hace circular la corriente en el circuito externo. En todo instante de tiempo, $t$, el lado $bc$ tiene una velocidad, $v$, y forma un ángulo $θ$ con las lineas del campo magnético. Debemos tener en cuenta ahora que la componente de v paralela a las lineas de campo no produce efecto alguno sobre las cargas del alambre, mientras que la componente de la velocidad perpendicular a las lineas de campo magnético produce una fuerza magnética que mueve los electrones de $c$ hacia $b$. De esta forma, la fem inducida en el lado $bc$ es igual a $Blv_{⟂}$, donde $l$ es la longitud del lado y $v_{⟂}$es la componente de v perpendicular a las lineas de campo.


Igualmente una fem de la misma magnitud se induce en el lado da y como $v_{⟂} = v sen θ$, la fem total inducida será:


$\epsilon = 2Blv_{⟂} = 2Blv sen θ $
(ecuación 1)

Cuando el bucle gira a una velocidad angular $ω$ constante se tiene que:


$θ = ωt$
(ecuación 2)

Además, como todos los puntos en los lados, $bc$, y, da, giran en trayectorias circulares de radio $r$ alrededor del eje central; para el mismo caso de velocidad angular constante tenemos que la velocidad lineal es:


$v = rω = (l^{'}/2)/ω$
(ecuación 3)

donde $l^{'}$ es la longitud de los lados $ab$, y, $cd$.


Sustituyendo en la ecuación 1 los valores de las ecuaciones 2 y 3 se llega a que la fem inducida responde a la expresión:


$\epsilon = 2Bl(l'/2)ωsen(ωt)= Bll^{'}ω sen(ωt)$
(ecuación 4)

Como el producto ($lxl^{'}$) es igual al área, A, del bucle; y si el bucle tiene una cantidad N de espiras, finalmente se tendrá que:


$\epsilon = NBAω sen(ωt)$

(ecuación 5)


La ecuación 5 deja claro dos cosas:

que la fem inducida tiene un comportamiento sinusoidal con el tiempo.


que el valor máximo de la fem ($ξ_{max}$) se produce cuando el plano del bucle es paralelo a las lineas de campo ($θ =90º$) ya que aquí $sen(θ)$ alcanza su máximo valor (1), y equivale a:

$\epsilon_{max} = NBAω$

(ecuación 6)


Hasta quí hemos descrito solo el principio físico de operación de los generadores de corriente alterna, pero en los potentes generadores de la industria eléctrica que operan a grandes potencias se requiere de mucho más que eso, estas máquinas son obras de ingeniería monumentales.

Generadores de corriente directa


Esquema del generador de corriente directa.


Uno de estos aparatos se muestra esquemáticamente en la figura 3. Como podrá apreciar la construcción del generador de corriente directa es esencialmente igual al de alterna, con la diferencia de que la conexión del lazo que rota se hace a través de un anillo dividido en secciones, llamado conmutador.


La fem de estas máquinas siempre tiene la misma polaridad como se muestra en el gráfico inferior de la figura 3, en el que podrá observarse que la magnitud de la fem es pulsante. La particularidad del anillo colector de la corriente de estar dividido, hace que durante el giro las diferentes secciones del anillo colector cambien de escobilla contactada cada media vuelta del lazo de manera sincronizada con el cambio de polaridad de la fem inducida (por eso lo de conmutador). De esta forma el contacto de cada una de las escobillas siempre se hará con una sección del conmutador que tiene la misma polaridad de la fem.


Motores eléctricos.


Un motor eléctrico es, en principio, un generador funcionando a la inversa; en lugar de suministrar energía mecánica al eje de entrada para producir energía eléctrica, se suministra energía eléctrica al aparato y se obtiene energía mecánica de salida en el eje del motor. Si en el generador de la figura 3 cambiamos la lámpara por una pila, se producen fuerzas magnéticas sobre los lados horizontales del lazo que dan lugar a un momento de fuerza que lo hace girar. El conmutador invierte la corriente cada media vuelta garantizando con ello que el momento de fuerza sea siempre en la misma dirección. Este momento generado convierte el antiguo generador en una máquina que puede realizar trabajo útil, es decir un motor. Si alimentamos un motor con corriente alterna, podemos prescindir del conmutador ya que la corriente invierte la dirección automáticamente cada media vuelta. La velocidad de rotación de este último tipo de motor está sincronizada con la frecuencia de cambio de la corriente alterna.


Lo que hemos tratado hasta aquí sobre motores y generadores ha sido muy simplificado, pero una discusión detallada de estas máquinas eléctricas se va en mucho del alcance del artículo.

Acoplamiento de Inductancias


Cuando fluye una corriente constante en una bobina como en la ilustración de la derecha, se produce un campo magnético en la otra bobina. Pero como el campo magnético no está cambiando, la ley de Faraday nos dice que no habrá voltaje inducido en la bobina secundaria. Pero si abrimos el interruptor, para interrumpir la corriente como en la ilustración del medio, habrá un cambio en el campo magnético de la bobina de la derecha y se inducirá un voltaje. Una bobina es un dispositivo reaccionario; ¡no le gusta ningún cambio!. El voltaje inducido hará que fluya una corriente en la bobina secundaria, que trata de mantener el campo magnético que había allí. El hecho de que el campo inducido siempre se oponga al cambio, es un ejemplo de la ley de Lenz. Una vez que ya se ha interrumpido la corriente y se cierra el interruptor para hacer que fluya de nuevo la corriente como en el ejemplo de la derecha, se inducirá una corriente en dirección opuesta, para oponerse al incremento del campo magnético. La persistente generación de voltajes que se oponen al cambio en el campo magnético es el principio de operación de un transformador. El hecho de que el cambio en la corriente de una bobina, afecte a la corriente y el voltaje de la segunda bobina, está cuantificado por una propiedad llamada inductancia mutua.



Inductancia Mutua


Se llama inductancia mutua al efecto de producir una fem en una bobina, debido al cambio de corriente en otra bobina acoplada. La fem inducida en una bobina se describe mediante la ley de Faraday y su dirección siempre es opuesta al cambio del campo magnético producido en ella por la bobina acoplada (ley de Lenz).


La fem inducida en la bobina #2, originada por el cambio en la corriente I1 se puede expresar como

$fem_{2} = - N_{2}A\frac{dB}{dt} = - M \frac{dI_{1}}{dt}$


La inductancia mutua M se puede definir como la proporción entre la fem generada en la bobina 2, y el cambio en la corriente en la bobina 1 que origina esa fem.


La aplicación mas usual de la inductancia mutua es el transformador.


Inductancia Mutua: Transformador


Si por el secundario de un transformador fluye mas corriente debido a que se está consumiendo mas potencia, entonces por el primario debe fluir igualmente mas corriente para suministrar mas energía. Este acoplamiento entre el primario y el secundario, se describe mas convenientemente en términos de inductancia mutua. La inductancia mutua aparece en las ecuaciones del circuito de ambos circuitos primario y secundario del transformador.



CALCULO DE INDUCTANCIA


Empezaremos hablando de la permeabilidad magnética, que es la capacidad de los materiales de absorber fuerzas magnéticas. La permeabilidad del vació es la siguiente:


$\mu_o=4 \pi 10^{-7}$

Tenemos por otra parte que la permeabilidad de un material es:


$\mu=\mu_r*\mu_o$

$\mu_rs=2$ es la permeabilidad relativa de un material.

$\mu_os=2$ es como ya hemos visto la permeabilidad del vació.

Como dato anecdótico se incluyen algunos materiales:



Si el núcleo es de aire, la permeabilidad μ es la misma que la del vacío.


La fórmula “clásica” que nos dice la inductancia de una bobina es la siguiente:


$L=\mu \frac{N^2*A}{l}$

Las unidades son las siguientes:


$N$ = Número de espiras
$A$ = Área transversal de la espira (cm²)
$l$= longitud del arrollamiento (cm)

En resumen, podemos decir lo siguiente de la fórmula anterior:


La inductancia es directamente proporcional a la permeabilidad del núcleo, el numero de vueltas y el diámetro del núcleo e inversamente proporcional a la longitud o espacio entre las espiras.


En el mundo real, los componentes electrónicos tienen una serie de inductancias y capacidades parásitas. Por esta razón esta formula no es demasiado útil, a no ser que nos ayude a elegir un valor adecuado entre una serie de posibles soluciones (tamaño del núcleo, espiras, diámetro del hilo, etc.).


Hay una fórmula muy conocida que esta basada en resultados empíricos, la fórmula de “Wheeler”:


$L=0.394 \frac{a^2*N^2}{9a+10l}s=2$


Las variables de la fórmula son las siguientes:


$a$ es el radio
$l$ es la longitud del arrollamiento de espiras.


Las dos unidades son en centímetros y el resultado del cálculo es en micro-henrios.

Energía en una Inductancia


Cuando fluye una corriente eléctrica por una inductancia, hay energía almacenada en el campo magnético. Considere una inductancia pura L, la potencia instantánea que se debe suministrar para iniciar la corriente en la inductancia es

$P = iv = LI\frac{di}{dt}$

de modo que la entrada de energía para construir la corriente final i está dada por la integral

Energia Almacenada = $\int_{0}^{t} P dt = \int_{1}^{0} Li' di' = \frac{1}{2}LI^{2} $

Usando el ejemplo de un solenóide, se puede obtener una expresión para la densidad de energía.



Energía en un Campo Magnético


Del análisis de la energía almacenada en una inductancia,

Energia Almacenada = $\frac{1}{2} LI^{2}$

la densidad de energía (energía/volúmen) es

$\frac{\frac{1}{2}LI^{2}}{A l} = \frac{\frac{\mu N^{2}AB^{2}l^{2}}{2L\mu^{2}N^{2}}}{A l}$

de modo que la energía almacenada en el campo magnético es

$\eta_{B} = \frac{energia}{volumen} = \frac{B^{2}}{2\mu}$

TRANSFORMADORES


Los transformadores son dispositivos electromagnéticos estáticos que permiten partiendo de una tensión alterna conectada a su entrada, obtener otra tensión alterna mayor o menor que la anterior en la salida del transformador.


Permiten así proporcionar una tensión adecuada a las características de los receptores. También son fundamentales para el transporte de energía eléctrica a largas distancias a tensiones altas, con mínimas perdidas y conductores de secciones moderadas.


CONSTITUCION Y FUNCIONAMIENTO


Constan esencialmente de un circuito magnético cerrado sobre el que se arrollan dos bobinados, de forma que ambos bobinados están atravesados por el mismo flujo magnético. El circuito magnético está constituido (para frecuencias industriales de 50 Hz) por chapas de acero de poco espesor apiladas, para evitar las corrientes parásitas .


El bobinado donde se conecta la corriente de entrada se denomina primario, y el bobinado donde se conecta la carga útil, se denomina secundario.


La corriente alterna que circula por el bobinado primario magnetiza el núcleo de forma alternativa. El bobinado secundario está así atravesado por un flujo magnético variable de forma aproximadamente senoidal y esta variación de flujo engendra por la Ley de Lenz, una tensión alterna en dicho bobinado.


(Circuitos primario y secundario en un transformador)


(Construcción del núcleo de un transformador con devanados coaxiales)


ECUACIONES FUNDAMENTALES


El valor eficaz de la fuerza electromotriz en los devanados del transformador se determina por las siguientes fórmulas:


$U_{1}$ =$4,44 B_{M} A f n_{1}$

$U_{2}$ = $4,44 B_{M} A f n_{2}$

En donde:


$U_{1}$ = tensión en devanado primario (voltios)


$U_{2}$ = tensión en devanado secundario (voltios)


$B_{M}$ = valor máximo de la inducción magnética en el núcleo (Tesla). (En núcleos de hierro magnéticos de transformador suele tener un valor máximo de 1,4 Tesla)


$f$ = frecuencia de la corriente alterna ($Hz$)


$n_{1}$ = número de espiras del devanado primario (adimensional)


$n_{2}$ = número de espiras del devanado secundario (adimensional)


$A$ = área de la sección recta del núcleo magnético ($m_{2}$)



Si el primario y el secundario están atravesados por la misma inducción máxima $BM$ y la sección $A$ del núcleo permanece constante, entonces;


$\frac{U_{1}}{U_{2}} = \frac{n_{1}}{n_{2}}$

A este cociente se denomina relación de transformación, e indica la relación entre la tensión de entrada y salida, cuando el transformador está funcionando en vacío, o sea sin carga, en el secundario.


(Formas constructivas de arrollamientos)


POTENCIAS Y EFICIENCIAS


Un transformador es esencialmente dos solenoides o inductancias sobre un mismo núcleo, por consiguiente existirá un desfase entre la tensión y la corriente que atraviesa ambos devanados.


Las potencias de entrada y salida son :


$P_{1} = U_{1} I_{1} cos(φ_{1})$ (Watios)

$P_{2} = U_{2} I_{2} cos(φ_{2})$ (Watios)

El rendimiento del transformador $\eta$ es igual:


$\eta = \frac{P_{2}}{P_{1}}$

También existen pérdidas en el núcleo debidas a las corrientes parásitas y a la histeresis, y pérdidas en los devanados debido al efecto Joule. Todas estas pérdidas se manifiestan en forma de calor, y disminuyen el rendimiento del transformador, por consiguiente, el rendimiento real también se puede expresar como:


$\eta = \frac{P_{2}}{P_{2} + P_{nuc} + P_{dev}}$

Los rendimientos reales que se observan en los transformadores son altos,(al no tener entrehierros como las máquinas rotativas,) y mejoran con el tamaño del transformador (entre un 80% y un 98%).


CIRCUITO EQUIVALENTE


El devanado secundario de un transformador es equivalente a un generador ideal de corriente alterna en serie con una resistencia ohmica pura $R$, en serie con una reactancia $X_{L}$ , y a su vez en serie con la carga exterior $Z$, que se le conecte.


(Circuito equivalente de un transformador)


Como en cualquier generador real, la tensión en el secundario va disminuyendo según aumenta la carga que se conecte, debido a la impedancia interna que tiene el transformador. Esto indica que la tensión en vacío en el secundario del transformador siempre es algo superior a la tensión en carga del mismo.


(Tensión de salida en un transformador en carga)


LIMITES DE FUNCIONAMIENTO DE UN TRANSFORMADOR


Un transformador se proyecta para unas tensiones dadas de servicio en primario y secundario y una potencia máxima continua que puede obtenerse en su secundario. El incrementar la tensión en su primario, y por tanto la corriente en el mismo, lleva a la saturación del núcleo magnético, con lo que el mismo no es capaz de transferir mas potencia al secundario y el exceso de potencia de entrada solo produce sobrecalentamientos del núcleo por corrientes parásitas, y del devanado primario, por efecto Joule, llevando a la rotura del devanado por fallo del aislante del mismo. Una espira en cortocircuito genera a su vez mas calor y provoca el fallo total del devanado.


En un transformador es fundamental prever una correcta refrigeración del mismo, y a este fin, los de mayor tamaño ( a partir de algunos kilowatios), están bañados en aceite refrigerante que actúa también como dieléctrico.


Así pues, la tensión de entrada, la potencia máxima continua de salida , y la temperatura ambiente, son tres parámetros que no deben sobrepasarse de forma permanente.




Capitulo 7

Temas Tratados.

  • Ley de Faraday.
  • Ley de Lenz.
  • Campos eléctricos inducidos.
  • Generadores eléctricos y motores.
  • Inductancias: propia y mutua, Cálculo de la inductancia.
  • Energía en inductancias.
  • Energía del campo magnético.
  • Transformador.